algebra

lectura de apoyo

http://www.alumnos.inf.utfsm.cl/~raraya/arq/material/Capitulo_3.pdf

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

Producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados, que pueden formarse tomando el primer elemento del par, del primer conjunto, y el segundo elemento, del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A \times B = \{ (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b) \}

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

Relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados,  :1

Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria  :

También puede expresarse:

en notación polaca.

Teoría de grafos

Los grafos son el objeto de estudio de esta rama de las matemáticas. Arriba el grafo pez, en medio el grafo arco y abajo el grafo dodecaedro.

La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas, que no se debe confundir con las gráficas que tienen una acepción muy amplia) estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados (edges en inglés) que pueden ser orientados o no.

Tipos de Relaciones

Relación Reflexiva.

Una relación se llama reflexiva si todo elemento esta relacionado con sigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.

Relación Irreflexiva.

Una relación binaria es irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:

Relación Simétrica.

Una relación binaria es simétrica, si se cumple que un par ordenado (A,B) pertenece a la relación entonces el par ( B,A ) también pertenece a esa relación.

Para todo par ordenado (A,B)  que pertenezca a R, implica que el par (B,A)  también pertenece aR , téngase en cuenta que si el par( A,B ) no pertenece a la relación el par ( B,A) tampoco tiene que pertenecer a esa relación.

Relacion Antisimetrica.

Una relación binaria se dice que es antisimétrica si los pares ordenado (A,B) y (B,A) pertenecen a la relación entonces A = B.

Dicho de otra manera, no existen los elementos A, B distintos, y que a este relacionado con B yB este relacionado con A.

Relacion Transitiva.

Una relación binaria es transitiva cuando, dado los elementos A, B, C del conjunto, si A esta relacionado con B y B esta relacionado con C, entonces a esta relacionado con C.

Puesto que las relaciones binarias son conjuntos de pares ordenados, las nociones de intersección, diferencia simétrica, unión y diferencia de dos relaciones, se obtienen de manera similar a las correspondientes para conjuntos.

Entonces primeramente es necesario recordar dichas nociones para conjuntos.

a) La unión de dos conjuntos A y B, denotada por AB, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos de A ó B, ó de ambos.

Ejemplos:
1) Si A = {a, b}, B = {c, d}, entonces AB = {a, b,c, d}

2) Si A = {a, b}, B = {a, c}, entonces AB = {a, b, c}

3) Si A = {a,b}, B = {}, entonces AB = {a, b}

4) Si A = {a, b}, B = {c, {a, b}}, entonces AB = {a, b, c, {a, b}}

b) La intersección de dos conjuntos A y B, denotada por A  B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos que están tanto en A como en B.

Ejemplos: 
1) {a, b}  {a, c} = {a}

2) {a, b}  {c, d} = {}

3) {a, b}  {} = {}

Las relaciones se pueden clasificar de acuerdo al tipo de asociación que hay en sus elementos como: uno-a-uno 1–1, uno-a-mucho 1-M, muchos-a-uno M-1 o muchos-a-muchos M-M. Recordemos que una relación es un conjunto de pares ordenados.
Definición: Una relación R de A a B es:Muchos-a-uno, M-1 si existen dos pares con el mismo segundo elemento, esto es existen (x,y), (z,y) distintas en la relación, con símbolos (∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ A) ((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R ^ x ≠ z)
Propiedades de las relaciones.Uno-a-muchos ‘1-M’ si existen dos pares con el mismo primer elemento, esto es existen (x,y), (x,z) distintas en la relación, con símbolos (∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ B) ((x,y) ∈ R ^ (x,z) ∈ R ^ y ≠ z)
Propiedades de las relaciones.Muchos-a-muchos ‘M-M’ si es muchos-a-uno y uno-a-muchos. sea que hay al menos dos pares con el mismo primer elemento y también hay dos pares con el mismo segundo elemento.O sea que cumple las dos definiciones anteriores.
Propiedades de las relaciones.Uno-a-uno ‘1–1′ si no es muchos-a-uno ni uno-a-muchos, o sea que no hay dos pares con el mismo primer elemento y no hay dos pares con el mismo segundo elemento.Esto significa que cumple las dos condiciones siguientes (∀ x ∈ A)(∀ y ∈ B)(∀ z ∈ B)((x,y) ∈ R ^ (x,z) isin; R ⇒ y = z) (∀ x ∈ A)(∀ y ∈ B)(∀ z ∈ A)((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R ⇒ x = z)

Dinámica grupal.Junto con el compañero de al lado ejemplifiquen en su cuaderno el cómo sería este tipo de relaciones en la vida real. Enfoque sobre todo en datos que un computador pudiera aceptar, como por ejemplo: los datos de un alumno en relación con un maestro, salón, etc.

Relación Reflexiva y Irreflexiva

          Teorema: Una relación R en un conjunto es reflexiva si y solo si la diagonal principal de la matriz asociada a la relación tiene únicamente unos. De la misma forma es Irreflexiva si tiene solamente ceros. 

Una relación A es:

Reflexiva: Si todo elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

Irreflexiva: Si ningún elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

Relación Simétrica, Asimetrica, Antisimetrica Y Transitiva

      Teorema: Una relación R es simétrica si y solo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.

Simetrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento,el segundo tambien se relaciona con el primero, con simbolos: (x ,y) ∈  R  ⇒  (y ,x) ∈ R

Asimetrica: Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.

Teorema: Una relación R en conjunto es Antisimétrica si y solo si los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.

Antisimétrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos:          ∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y)

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.
Transitiva: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento y el segundo esta relacionado con un tercero, entonces el primero esta relacionado con el tercero: 

Ejemplo para todas las relaciones

Cuando tenemos la matriz de una relación es muy fácil verificar si es reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica, Transitiva:

Ejemplo.- Sea A = { a, b, c, d, e }

R1 = { (a,a), (b,b), (a,c), (b,c), (c,a), (d,d) }
R2 = { (a,a), (a,d), (c,b), (d,a), (c,e), (e,e) }
R3 = { (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,c), (b,a) }
R4 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (b,c), (b,e), (c,e), (b,d), (d,a), (e,e) }
R5 = { (a,c), (a,e), (e,c), (b,c) }
R6 = { ( (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,e), (b,c), (c,b), (e,a) }
R7 = { (a,b), (b,d), (c,a), (d,e), (e,c), (b,c), (b,a) }