domingo, 27 de abril de 2014

INDICE


Es toda clase de conjunto de elementos que pueden tomar 2 valores perfectamente diferentes, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por 2 operaciones binarias denominadas suma (+) y producto (.)( la operación producto se indica generalmente mediante la ausencia de símbolo entre 2 variables lógicos).Fue desarrollado por george boole. Chainon fui quien lo saco a la luz. 
• Uso de variables booleanas (cuyos valores son 1 ó 0)

• Minitérmino: Es un producto booleano en la que cada variable aparece sólo una vez; es decir, es una expresión lógica que se compone de variables y los operadores lógicos AND y NOT. P. ejem. ABC y AB’C.

• Maxitérmino: Es una expresión lógica que se compone de variables y los operadores lógicos OR y NOT. P. ejem. A+B’+C y A’+B+C.

• En álgebra booleana, se conoce como forma canónica de una expresión, a todo producto o suma en la cual aparecen todas sus variables en su forma directa o inversa.

• Una expresión lógica puede expresarse en forma canónica usando minitérminos o maxitérminos.


• Todas las expresiones lógicas son expresables en forma canónica como una “suma de minitérminos” o como un “producto de maxitérminos”.
a) Formadas con variables booleanas
b) Valores de 1 (verdadero) ó 0 (falso)
c) Puede tener constantes booleanas (1 ó 0)
d) Puede tener operadores lógicos: AND (&, ^), OR (V) y NOT (¬, ‘, -, ~)
• Multiplicación lógica: AND
• xy = x ∙ y = (x)(y)
• Suma lógica: OR
• x + y
• Complemento (negación): NOT
• x’
e) Se puede obtener el resultado lógico de una expresión booleana aplicando las tablas de verdad (valores de certeza)

f) Se puede aplicar la Ley de Morgan
Las expresiones booleanas se usan para determinar si un conjunto de una o más condiciones es verdadero o falso, y el resultado de su evaluación es un valor de verdad. Los operandos de una expresión booleana pueden ser cualquiera de los siguientes:
Expresiones relacionales: que comparan dos valores y determinan si existe o no una cierta relación entre ellos (ver más adelante), tal como mfn<10;
Funciones booleanas: tal como p (v24), que regresa un valor de verdad (estos se explican bajo "Funciones booleanas"). Las expresiones relacionales permiten determinar si una relación dada se verifica entre dos valores. La forma general de una expresión relacional es:
Expresión-1 operador-de-relación expresión-2

Dónde:
Expresión-1 es una expresión numérica o de cadena
Operador-de-relación es uno de los siguientes:
= Igual
No igual (diferente de)
< Menor que
<= Menor o igual que
Mayor que
>= Mayor o igual que
Contiene (puede ser usado sólo en expresiones de cadena)

Expresión-2 es una expresión del mismo tipo que expresión-1, o sea, expresión- 1 y expresión-2 deben ser ambas expresiones numéricas o ambas expresiones de cadena.
    Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados lógicos mencionados en lo anterior y funcionan igual que una calculadora, de un lado ingresas los datos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra el resultado.
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Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y la operación que realiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamada Tabla de Verdad, veamos la primera.

Compuerta NOT

Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si pones su entrada a 1 (nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación lógica es s igual a a invertida

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Compuerta AND

Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica es un producto entre ambas, no es un producto aritmético, aunque en este caso coincidan.*Observa que su salida será alta si sus dos entradas están a nivel alto*
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Compuerta OR
Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica, será una suma entre ambas... Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 = 1, el tema es que se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o b*Es decir, basta que una de ellas sea 1 para que su salida sea también 1*
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Compuerta OR-EX o XOR

Es OR EXclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que hará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertidapor b.*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1*

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Estas serían básicamente las compuertas más sencillas.

Compuertas Lógicas Combinadas a
l agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora como son y cuál es el símbolo que las representa...

Compuerta NAND

Responde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representación simbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de la compuerta AND.


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Compuerta NOR

El resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversión de la operación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, solo agregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR.


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Compuerta NOR-EX

Es simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se pueden apreciar en la tabla de verdad, que bien podrías compararla con la anterior y notar la diferencia, el símbolo que la representa lo tienes en el siguiente gráfico.


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Buffer's

En realidad no realiza ninguna operación lógica, su finalidad es amplificar un poco la señal (o refrescarla si se puede decir). Como puedes ver en el siguiente gráfico la señal de salida es la misma que de entrada.


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Se pueden introducir expresiones de lógica booleana para:
  • Validaciones
Se pueden introducir expresiones que definan las condiciones para la utilización y validación de la entrada de datos.
  • Sustituciones
Se pueden introducir expresiones que definan las condiciones para la sustitución de la entrada de datos.
  • Selección de ledgers
Se pueden introducir expresiones que definan las condiciones de selección de un ledger a contabilizar.
  • Report Writer
Se pueden introducir expresiones que definan las condiciones de selección de los datos del informe.
  • Rollups
Se pueden introducir expresiones que definan las condiciones para transferir datos de sustitución para ledgers de rollup.
Expresiones booleanas en la selección de ledgers
En la selección de ledgers, se puede utilizar una expresión booleana para la contabilización.
Si se trata de una cuenta de ganancias y pérdidas, se debe contabilizar el movimiento en el ledger.
Al determinar las operaciones que actualizan un ledger, también se pueden definir condiciones de selección de ledgers especiales a la hora de seleccionar el ledger para contabilización. Se pueden introducir expresiones de lógica booleana en el campo Condición de la pantalla Modificar ledger: Selección ledgers.
Regla de selección:
RFXX
Ledger:
D4
Condición:
GLT1-RCNTR = '100'
En este ejemplo, los datos del movimiento se contabilizan en el ledger D4 para todas las operaciones RFXX cuando el centro de coste es el 100.
Cuando los datos se transfieren al componente de aplicación FI-SL, pueden contabilizarse a un ledger de acuerdo con la expresión introducida en el campo Condición.
Para mejorar el rendimiento del sistema, debe introducirse una regla de lógica booleana en lugar de una expresión.
Expresiones booleanas en Report Writer
En Report Writer, a la hora de seleccionar datos para informes, se puede utilizar una expresión booleana. La utilización de expresiones booleanas retrasa el proceso, pero permite definir criterios de selección más complejos.
Si el centro de coste es el 100 y la sociedad no es el 2000, seleccione los datos para un informe.
Se introducen reglas de lógica booleana en el campo Nombre de regla, que aparece en una ventana de diálogo cuando se selecciona la función Tratar
® Regla de selección en la pantalla Crear informe: Selección de informes general.
Debe crearse una regla de selección llamada AR-REPORT. Esta regla contiene la siguiente expresión de selección:
GLT1-RCNTR = '100' AND GLT1-BUKRS <> '2000'
Con esta expresión, el sistema selecciona todos los registros en los que el centro de coste es 100 y la sociedad no es 2000.
La expresión de selección que se utiliza en una definición de informe sólo puede remitirse a la tabla definida en la biblioteca del informe.
Una expresión sólo puede remitirse a la tabla GLT1 si el informe está en una biblioteca que utiliza la tabla GLT1.
Para mejorar el rendimiento del sistema, utilice como condición de selección un set, y no será necesaria ninguna expresión de selección.
Para más información sobre el uso de expresiones en el Report Writer, véase
Definición de los criterios de selección. 
Expresiones booleanas en rollups
En los rollups, para transferir los datos sustituidos a los campos receptores y definir los que deben implosionarse en el ledger rollup, pueden utilizarse las expresiones booleanas introducidas en las reglas.
Si una cuenta es mayor que o igual a 200000 y menor que 250000, la cuenta debe sustituirse por la cuenta 300000.
Las reglas de lógica booleana se introducen para:
  • Seleccionar los datos a implosionar, en el campo Regla de la pantalla Crear Rollup <Nombre>: Secuencia de rollup.
  • Sustituir datos, en el campo Regla de la pantalla Modificar vista "Sustitución de rollup": Resumen.
Debe crearse una regla de sustitución llamada AR-ROLLUP. Esta regla de sustitución contiene la expresión siguiente:
GLU1-RACCT >= '200000' AND GLU1-RACCT < '250000'
En el campo Regla de la pantalla Modificar vista "Sustitución rollup": Resumen, introduzca la regla de sustitución
AR-ROLLUP . También se introduce el valor con que se han sustituido los datos variables (por ejemplo, cuenta 300000). Cuando la cuenta del movimiento es mayor que o igual a 200000 y menor que 250000, entonces la cuenta se sustituye por la cuenta 300000.
Para más información sobre el uso de expresiones en los rollups, véase
Creación de una secuencia de rollup. 
Expresiones booleanas en validaciones
En las validaciones, las expresiones booleanas se utilizan para validar los datos entrantes. El proceso para validar datos consta de dos etapas y es similar a la condición IF/THEN (
« ):
  1. El sistema verifica primero si la confirmación previa de validación es TRUE para un movimiento. Si el movimiento es TRUE, el sistema verifica los datos de acuerdo a una expresión de verificación (regla de validación).
  2. A continuación el sistema verifica la transacción de acuerdo con la regla de validación. Si el movimiento es TRUE, se contabilizan los datos.
Cuando el centro de un movimiento es el 10, los datos del movimiento sólo son válidos para la empresa 1000 cuando el centro de coste esté entre el 110 y el 180. Si se intenta introducir los datos de un movimiento cuando el centro es el 10 y el centro de coste no está entre el 110 y el 180, aparece el correspondiente mensaje de sistema.
Expresiones booleanas en sustituciones
En sustituciones, las expresiones booleanas se utilizan para definir las condiciones bajo las que se realizará una sustitución
Debe crearse una dimensión llamada Región en el bloque de imputación. Se ordena al sistema que desplace el valor 121223 a la dimensión Región en la base de datos de totales FI-SL cuando un movimiento con el centro de coste 300 entra en FI-SL desde otra área de aplicación R/3.

algebra


lectura de apoyo

http://www.alumnos.inf.utfsm.cl/~raraya/arq/material/Capitulo_3.pdf
Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una 
función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados, que pueden formarse tomando el primer elemento del par, del primer conjunto, y el segundo elemento, del segundo conjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:
A \times B = \{ (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b) \}
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

Relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados,  :1

Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria  :

También puede expresarse:

en notación polaca.

Teoría de grafos
Los grafos son el objeto de estudio de esta rama de las matemáticas. Arriba el grafo pez, en medio el grafo arco y abajo el grafo dodecaedro.
La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas, que no se debe confundir con las gráficas que tienen una acepción muy amplia) estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados (edges en inglés) que pueden ser orientados o no.
Tipos de Relaciones


Relación Reflexiva.

Una relación se llama reflexiva si todo elemento esta relacionado con sigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.




Relación Irreflexiva.

Una relación binaria es irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:






Relación Simétrica.


Una relación binaria es simétrica, si se cumple que un par ordenado (A,B) pertenece a la relación entonces el par ( B,A ) también pertenece a esa relación.

Para todo par ordenado (A,B)  que pertenezca a R, implica que el par (B,A)  también pertenece aR , téngase en cuenta que si el par( A,B ) no pertenece a la relación el par ( B,A) tampoco tiene que pertenecer a esa relación.





Relacion Antisimetrica.

Una relación binaria se dice que es antisimétrica si los pares ordenado (A,B) y (B,A) pertenecen a la relación entonces A = B.
Dicho de otra manera, no existen los elementos AB distintos, y que a este relacionado con B yB este relacionado con A.



Relacion Transitiva.

Una relación binaria es transitiva cuando, dado los elementos A, BC del conjunto, si A esta relacionado con B y B esta relacionado con C, entonces a esta relacionado con C.


Puesto que las relaciones binarias son conjuntos de pares ordenados, las nociones de intersección, diferencia simétrica, unión y diferencia de dos relaciones, se obtienen de manera similar a las correspondientes para conjuntos.
Entonces primeramente es necesario recordar dichas nociones para conjuntos.
a) La unión de dos conjuntos A y B, denotada por Ahttp://mate.cucei.udg.mx/matdis/simbolos/union.gifB, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos de A ó B, ó de ambos.
Ejemplos:
1) Si A = {a, b}, B = {c, d}, entonces Ahttp://mate.cucei.udg.mx/matdis/simbolos/union.gifB = {a, b,c, d}
2) Si A = {a, b}, B = {a, c}, entonces Ahttp://mate.cucei.udg.mx/matdis/simbolos/union.gifB = {a, b, c}
3) Si A = {a,b}, B = {}, entonces Ahttp://mate.cucei.udg.mx/matdis/simbolos/union.gifB = {a, b}
4) Si A = {a, b}, B = {c, {a, b}}, entonces Ahttp://mate.cucei.udg.mx/matdis/simbolos/union.gifB = {a, b, c, {a, b}}
b) La intersección de dos conjuntos A y B, denotada por A http://mate.cucei.udg.mx/matdis/simbolos/interseccion.gif B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos que están tanto en A como en B.
Ejemplos: 
1) {a, b} http://mate.cucei.udg.mx/matdis/simbolos/interseccion.gif {a, c} = {a}
2) {a, b} http://mate.cucei.udg.mx/matdis/simbolos/interseccion.gif {c, d} = {}

3) {a, b} http://mate.cucei.udg.mx/matdis/simbolos/interseccion.gif {} = {}
Las relaciones se pueden clasificar de acuerdo al tipo de asociación que hay en sus elementos como: uno-a-uno 1–1, uno-a-mucho 1-M, muchos-a-uno M-1 o muchos-a-muchos M-M. Recordemos que una relación es un conjunto de pares ordenados.
Definición: Una relación R de A a B es:Muchos-a-uno, M-1 si existen dos pares con el mismo segundo elemento, esto es existen (x,y), (z,y) distintas en la relación, con símbolos (∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ A) ((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R ^ x ≠ z)
Propiedades de las relaciones.Uno-a-muchos ‘1-M’ si existen dos pares con el mismo primer elemento, esto es existen (x,y), (x,z) distintas en la relación, con símbolos (∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ B) ((x,y) ∈ R ^ (x,z) ∈ R ^ y ≠ z)
Propiedades de las relaciones.Muchos-a-muchos ‘M-M’ si es muchos-a-uno y uno-a-muchos. sea que hay al menos dos pares con el mismo primer elemento y también hay dos pares con el mismo segundo elemento.O sea que cumple las dos definiciones anteriores.
Propiedades de las relaciones.Uno-a-uno ‘1–1′ si no es muchos-a-uno ni uno-a-muchos, o sea que no hay dos pares con el mismo primer elemento y no hay dos pares con el mismo segundo elemento.Esto significa que cumple las dos condiciones siguientes (∀ x ∈ A)(∀ y ∈ B)(∀ z ∈ B)((x,y) ∈ R ^ (x,z) isin; R ⇒ y = z) (∀ x ∈ A)(∀ y ∈ B)(∀ z ∈ A)((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R ⇒ x = z)

Dinámica grupal.Junto con el compañero de al lado ejemplifiquen en su cuaderno el cómo sería este tipo de relaciones en la vida real. Enfoque sobre todo en datos que un computador pudiera aceptar, como por ejemplo: los datos de un alumno en relación con un maestro, salón, etc.

Relación Reflexiva y Irreflexiva


          Teorema: Una relación R en un conjunto es reflexiva si y solo si la diagonal principal de la matriz asociada a la relación tiene únicamente unos. De la misma forma es Irreflexiva si tiene solamente ceros. 

Una relación A es:

Reflexiva: Si todo elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:
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Irreflexiva: Si ningún elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:
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Relación Simétrica, Asimetrica, Antisimetrica Y Transitiva


      Teorema: Una relación R es simétrica si y solo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.

Simetrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento,el segundo tambien se relaciona con el primero, con simbolos: (x ,y) ∈  R    (y ,x) ∈ R


Asimetrica: Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.

Teorema: Una relación R en conjunto es Antisimétrica si y solo si los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.

Antisimétrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos:  
        ∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y)

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.
Transitiva: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento y el segundo esta relacionado con un tercero, entonces el primero esta relacionado con el tercero: 
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Ejemplo para todas las relaciones

Cuando tenemos la matriz de una relación es muy fácil verificar si es reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica, Transitiva:

Ejemplo.- Sea A = { a, b, c, d, e }


R1 = { (a,a), (b,b), (a,c), (b,c), (c,a), (d,d) }
R2 = { (a,a), (a,d), (c,b), (d,a), (c,e), (e,e) }
R3 = { (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,c), (b,a) }
R4 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (b,c), (b,e), (c,e), (b,d), (d,a), (e,e) }
R5 = { (a,c), (a,e), (e,c), (b,c) }
R6 = { ( (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,e), (b,c), (c,b), (e,a) }
R7 = { (a,b), (b,d), (c,a), (d,e), (e,c), (b,c), (b,a) }